2017年云南师范大学物理与电子信息学院721高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 一金属棒长3m ，离棒左端xm 处的线密度的质量为全棒质量的一半。
【答案】[0, x]一段的质量为总质量为m （3）=2，要满足
2． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:
（1）（2）（3）【答案】（1），因此
点为（x ，y ）
注:对于参数方程的处理方式一般可采用本题的方法，首先根据问题化为积分（其中记曲线， 对于积分根据参数方程进行换元，即可化为关于参数的积分，再进行计算. 上的点为（x ，y ））
（3）
3． 求下列幂级数的和函数：
【答案】（1）
则
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。问x 为何值时，[0，x]一段
，求得
。
33
（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线x=acost ，y=asint 上的
当
时，原级数收敛，当
即
即
时，因级数的一般项
从0到x 积分并逐项积分
上式两端对x 求导，得
（2）
则
当时，级数，则
数为s （x ）
在（-1, 1）内，上式两端对x 求导，得
于是
又由于幂级数在（3）令
处收敛，且
幂级数
的收敛域为
于是原级数的和函数
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故级数发散。
因此原级数的收敛域为
设和函数为
时，级数收敛；当
与
时，因级数一般项故级数发散；当
设和函
：是收敛的交错级数，因此原级数的收敛域为
在处连续，故
记其和函数为
即有
（4）径为R=1，当
时，级数
与
由得幂级数的收敛半
均收敛，故幂级数的收敛域为[-1, 1].
设和函数为s （x ）, 即当x=0时，s （0）=0； 当
时，有
上式两端对x 求导，得
注意到
上式两端从0到x 积分，得
再积分，得
于是
由于幂级数在
处收敛，故和函数分别在
处左连续与右连续，于是
因此
4． 求函数
【答案】f （x ）在续区间为
因为所以
的连续区间，并求极限
。
， 。
。
处无意义，所以这两个点为间断点，此外函数到处连续，连
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