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一、选择题

1． 若

都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】 C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

2． 设

均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若线性无关，则

线性无关.

【答案】A 【解析】因为当线性无关时，若秩

则

线性无关，

否则线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

有

由上述知

线性相关，所以

于是

因此线性相关，故选A.

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

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）.

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到基

【答案】（A ）

5． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

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则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

方法4令

所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 设

是n 维空间V 的两个子空间，且其维数之和等于n. 证明：存在V 的线性变换V 使

【答案】若设分别为（其中由此可得

下再证：任取则由（8）得所以因此，又因为

7． 设实二次型秩等于矩阵

证明：

的

故由（8）知

从而

则

再令

（9）

则取T=0; 若

则取T=I, 即得. ）且

与

与

的一基. 现扩充为

使

维数分别为S ，T （于是

个向量）为V 的一基. 于是，存在T 的线性变换T 使

的秩.

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