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一、选择题

1． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C. 2． 设

则3条直线

（其中

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

方程组①有惟一解

）交于一点的充要条件是（ ）

.

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，从而

可由 3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若

线性表出. 线性相关，故选D.

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此 4． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为 5．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C.

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

=（ ）.

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 设A 、B 为n 阶伴侣阵，

【答案】因当当

即时，

所以时，取

又

证明存在多项式

故

为A 的特征多项式即可.

使

（1）如果B 的特征值不全为0, 则存在可逆阵T , 使

由因此有

设的最小多项式为

为

的常数项，则

可得

这里为

由于

阶可逆矩阵. 可逆，因而

的常数项不为〇. 取