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一、选择题

1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

的伴随矩阵为（ ）.

则分块矩

且

所以

2． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组

，

的3个线性无关的解，

为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到

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是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组（否则与是

的两个线性无关的解.

的一个特解，所以选C.

3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

4． 设n （n ≥3）阶矩阵

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.

故

但当a=l时， 5． 设

是非齐次线性方程组

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于

因此

线性无关，且都是

的解.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

【答案】B 【解析】

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故

是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.

二、分析计算题

6． 证明：①正交方阵之积以及正交方阵的逆方阵均仍为正交方阵；

②在欧氏空间

中，

其中

A 为n 阶正交方阵.

且

故 7． 设

求

的基与维数，其中

【答案】

设

得齐次线性方程组

将系数矩阵A 用行初等变换化为简化阶梯形矩阵：

方程组的一般解为

是自由未知量，取其基础解系为是

的基，

8． n 阶方阵A 是正定阵，也是正交阵，证明A 是n 阶单位矩阵.

【答案】证法1:A 是正交矩阵，即以存在正交阵T ，使

因此A=E.

又A 是正定矩阵，则

所以有

即

由此可得A 的特征值只能是±1，结合正定矩阵的特征值全大于零知，A 的特征值全为1，所证法2:A 是正定矩阵，则存在正交矩阵P , 使

又结合知

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【答案】①A ，B 为两个n 阶正交方阵，则即AB 为正交方阵. 又因为

也是正交方阵. d因为A 为正交方阵，故

从而

则

的极大无关组，胡

的基，且

由（6-5）知