2017年宁夏大学数学计算机学院815线性代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
2． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
3． 设线性方程组的解都是线性方程组
【答案】（C ）
的解，则（ ）。
【解析】设即证秩
4． 设行列式
的解空间分别为则所以
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 设
是实数，证明：实二次型
正定的充要条件是【答案】因为
注意到
7． 设A 是数域K 上的一个
（1）证明：W 关于（2）设线性方程组
于是
矩阵，曰是一个m 维非零列向量。令
的运算构成的一个子空间；
的增广矩阵的秩为r 。证明W 的维数
（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基。 【答案】（1）显然因为存在
使
又
所以
即
此说明W 是
的子空间。
由题设，其解空间V 的维数
为
（2）对线性方程
组
任取所以存在
所以
存在
使
是线性方程组使
则
且
可见W 与V 同构，从而有
（3）由（2） W 与如下齐次线性方程组解空间同构。
的解。
显然，这是W 形到V 的一个双射。又
这样，存在W 到V 的映射，