2017年青岛大学数学科学学院816高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可由 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
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使
其中故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
因此A 与B 合同. 3． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B
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所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
因此
是
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
是（ ）二次型.
【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
6． 求函数
在实单位球面上：所取的值.
【答案】由上题知
其中
分别为A 的最小特征值与最大特征值，A 为二次型f 对应的矩阵，
且
计算可得
当
时，得特征向量
单位化得
当
时，得特征向量
单位化得
有最大值
当
时，有最小值
达到最大值与最小值，并求出达到最大值与最小值时z ，y ，z
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