2017年宁夏大学数学计算机学院815线性代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. 有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
是
的基础解系，
为任意常数，
. 有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
3． 设
秩
未知量个数，
是非齐次线性方程组的两个不同解，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
所以因此不是的特解，从而否定A , C.但D
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
5． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
都是4维列向量，且4阶行列式
二、分析计算题
6． 设A 是n 阶方阵，且
【答案】解法1因为
是n 阶单位矩阵，，是A 的转置矩阵）
所以
又因为解法2因为
所以
由于所以
7． 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间. 证明：
①对V 中任意向量在中都存在唯一的向量②若【答案】（于是设若于是得②因为
故
也有
从而比又因为
则
为其一标准正交
故
则
故
于是由勾股定理得
但是
8． 求
（1）（2）（3）
【答案】（1）用辗转相除法进行计算
使
是子空间显然（或由定理）. 又因为W 是有限维，设
基，则对V 中任意向量
故
与
的最大公因式：
从而