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一、解答题

1． 设f （x

）在

上有界

,

存在, 且

. 求证:b=0.

; 另一方面, 由f （x ）有界,

知

【答案】一方面, 由洛必达法则,

.

,

从而b=0.

2． 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数:

（1）只在（2）只在（3）只在【答案】 （1）（2）（3）（4）

3． 计算第二型曲线积分

【答案】由题意可令

, 其中L 是从A （0, 1）沿

则

所以积分与路径无关, 选择A 点沿y 轴到原点, 再由原点沿x 轴到B 点的路径. 从而

4． 求下列极限:

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和三点不连续的函数 和二点连续的函数；

上间断的函数；

（4）只在x=0右连续, 而在其他点都不连续的函数.

到的一段曲线.

【答案】 （1）因为

所以

（2）

（3）

5． 设f （x , y ）在区域

其中

【答案】

任取

时, 有

又由, f 对y 满足利普希茨条件, 对上述

取现取

则当

时,

所以f （x , y

）在点 6． 用

【答案】

曲率圆为:（如图所示）

, 求心形线

在

处的曲率、曲率半径和曲率圆.

处连续, 由点

的任意性知: f（x , y ）在G 内处处连续.

:

则当

" 时, 有

,

上对x 连续, 对y 满足利普希茨条件:

为常数, 试证明f 在G 上处处连续.

对固定的

在X 0连续,

于是对任给

存在

当

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图

二、证明题

7． 证明:

级数

【答案】考察

显然m 适当大时, 有

从而

.

上满足收敛定理条件的函数也成立（证略）. 请应用这个结

8． 由于帕塞瓦尔等式对于在果证明下列各式:

（1

）（

2）（3

）

.

,

, 使

, 由于级数的通项趋于0, 故当

发散于

.

【答案】（1）知

且f （x ）周期延拓后在

上满足收敛定理条件, 故由帕塞瓦尔等式, 得

即

（2）知

第

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