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一、计算题

1． 为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p , 任意调查n 个成年男子, 记其中的吸烟人数为m , 问n 至少为多大才能保证m/n与p 的差异小于0.01的概率大于95%.

【答案】因为

, 所以

根据题意有

由此得

查表得

因为

所以当

时, 必可满足要求, 因此至少抽9604个成年男子,

可使其吸烟频率m/n与实际成年人中吸烟率p 的误差小于0.01的概率大于95%.

2． 为了检验X 射线的杀菌作用，用200kV 的X 射线照射杀菌，每次照射6min ，照射次数为x ，照射后所剩细菌数为y ，下表是一组试验结果.

表

1

从表中数据可见：y 是随着x 的増加开始迅速下降，以后逐渐减缓，最后下降很慢. 据此可认为y 关于x 的曲线回归形式可能有如下形式

（1）

（2）（3）

【答案】

我们以

和剩余标准差s ，并作出比较.

则回归方程

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试给出具体的回归方程，并求其对应的决定系数

为例给出计算过程.

令

由数据可算得（参见下表）

化为

从而

于是就得到了lny 关于x 的线性回归方程程为

拟合值与残差平方如下表计算：

表

2

所以y 关于x 的曲线回归方

决定系数剩余标准差

对其他两个回归方程，可做类似的计算，两个回归方程分别为

三个方程的决定系数及剩余标准差分别为

表

3

可以看出，三个回归方程的决定系数都比较大，其中尤其以第一个方程为最好.

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3． 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望.

，i=l，2，3. 随机变量X 为“取到合格品之前，已【答案】记为“第i 次取m 的是合格品”取出的不合格品数”. 则

上述三个概率组成一个分布列，其数学期望为

4． 某厂决定按过去生产状况对月生产额最高的5%的工人发放高产奖. 已知过去每人每月生产额X （单位：kg ）服从正态分布N （4000，60），试问高产奖发放标准应把生产额定为多少？

【答案】根据题意知，求满足95%分位数. 又记得

因此可将高产奖发放标准定在生产额为4099kg.

5． 设

与

独立同分布, 其共同分布为

试求

与

的相关系数,

的k ，即

其中

为分布

的可

为标准正态分布N （0，1）的p 分位数，则由

2

其中3与13为非零常数.

【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差

.

然后计算Y 与Z 的相关系数

.

6． 若事件

，是否一定有

发生有多种情况，如

【答案】不能，因为

； （1）A ，B ，C 中两两不相容（见图（a ））

； （2）A ，B ，C 中有两个相容，但与第三个都不相容（见图b ））； （3）A 与B 相容，A 与C 相容，但B 与C 不相容（见图（c ））（4）A ，B ，C 中两两相容，但其交不含任一样本点（见图（d ））.

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