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一、计算题

1． 设随机变量X 与Y 相互独立, 试在以下情况下求Z=X/Y的密度函数:

（1）（2）

【答案】（1）因为当数为

使上式中的被积函数大于0的区域是

与

的交集, 所以当z>0时, 有

（2）因为当x>0时, 为

使上式中的被积函数大于0的区域是

与

的交集, 所以当z>0时, 有

2． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】两个球颜色相同有两种情况：全是白球，全是黑球，所以仿抽样模型可得

3． 随机变量（X , Y ）服从以点（0, 1）, （1, 0）, （1, 1）为顶点的三角形区域上的均匀分布, 试求

和

【答案】记此三角形区域为D （如图阴影部分）

.

且当y>0时

,

所以Z=X/Y的密度函数

时,

且当y>0时,

. 所以Z=X/Y的密度函

图

因为D 的面积为1/2, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

下求X 和Y , 各自的边际密度函数. 当0

当0

即X 与Y 同分布. 因此由贝塔分布的期望、方差公式可知

由于X 与Y 不独立, 所以先计算

由此得

最后得

4． 试问下列命题是否成立？

（1）（2）（3）（4）

（2）成立的理由是：互不相容两个集合的子集当然也互不相容，（1）（3）（4）不成立，为了说明理由，我们利用减法的一个性质：

（3）不成立是因为由（3）的左端可得（4）不成立的理由是

来简化事件.

.

【答案】（1）不成立是因为由（1）的左端可得

5． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球，从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】从两个口袋中各取一球，共有

种等可能取法，而两个球颜色相同有两种情况：

第一种是从甲口袋取出白球、从乙口袋也取出白球；第二种是从甲口袋取出黑球、从乙口袋也取出黑球，这共有

种取法，于是

6． （1）某种岩石中的一种元素的含量在25个样本中为：

有人认为该样本来自对数正态分布总体，请设法用w 检验方法作检验（【答案】（1）首先应对数据进行对数变换. 记在下表中，

由此可算得

表

）.

）.

（2）对（1）题的数据，试用EP 检验方法检验这些数据是否来自正态总体（取

则25个y 的观测值可算出，我们把它列

从上表中可以计算出W 的值：

当n=25时，查表知故在显著性水平

拒绝域为

由于样本观测值没有落入拒绝域内，

上不拒绝原假设，即可以认为样本来自对数正态分布.

在附表11中通过线性插值得到n=25时的0.95

分位数约为

计算得到的

小于该临界值，因此在显著性水平

（2）该问题可按计算TEP 的框图用任一种软件编程计算，这里用SAS

软件编程算得

若取显著性水平

0.05下接受这些数据是来自正态总体的.

7． 在遗传学研宄中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为

若已知m=2

,

是样本，试求p 的最大似然估计.

的样本中有个为1,

有

【答案】当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2, 不妨设个为2，则其似然函数为（忽略常数）