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一、证明题

1． 设函数f (x ) 在区间[a, b]上满足

其中

为常数，证明：f (x ) 在[a，b]上恒为常数.

【答案】由条件可得

固定x ，令

由两边夹法则

此即有

2． 设f (x ) 在

【答案】

由泰勒公式有

其中

甶0与x 之间

.

而f (0) >0，由介值定理，至少有一点

3． 求证：黎曼函

【答案】(1)

具有如下性质：

使得

又

从而

上一致收敛. 进一步由连续性定理，可知函数

上连续.

上

(1) 在x>1上连续；(2) 在x>1上连续可微.

使

因此

在

上恒为常数.

上具有连续二阶导数，又设

则在区间

内至少有一个点

使

连续，特别在连续. 由于的任意性，即可肯定

(2) 由(1) 可知

使得

又收敛，从而一在上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知

且在上连续，特别

在点可导且

在连续. 由的任意性，即可肯定

在；x>l上连续可微. 4． 设

证明：

【答案】(1)

(2) 用数学归纳法证明. 由(1) 知，当n=l时，命题成立. 假设当n=k时，命题成立，则当n=k+l时，

即当

5． 设

也是【答案】

时，命题也成立. 于是(2) 的结论得证. 为上的凹函数.

由此推出

由凹函数定义，即知 6． 设

【答案】由

利用已知的关系式

可得

上的凹函数，求证：

是上的凹函数.

证明:

注意到

由上式得

易见

7． 证明

【答案】因为续. 取

由命题知，在

存在. 在已知的关系式两边取极限可知

上不一致连续.

在

由

但

得

于是，无

论故

在

多么小，总存在两

点

上不一致连续.

满

足

上一致连

上一致连续，但在在闭区间

上连续，由一致连续性定理知

设是任一正数，则

二、解答题

8． 求

【答案】由分部积分可得

令

则

所以

故得

9． 求极限：

【答案】由极限的运算性质知

10．计算

【答案】补充平面

其中S 为曲面

被平面

方向向上. 有

其中

所截部分的外侧.