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一、证明题

1． 设

可以确定连续可微隐函数

【答案】因为

2． 设

【答案】

. 下证

是数列

(反证法) . 假设x 0不是数列因

为

对

则一定有

矛盾. 于是必有一个聚点。

3． 证明：级数

【答案】考察

显然m 适当大时，有

从而

使

由于级数的通项趋于0, 故当

发散于

所以试证：数列

的聚点，则存在

的聚点全体恰为闭区间

不含有数列

所以存在自然数来说，

或者

如若不然，则有

N ，

当或者

于是

时，

有

这是因为

.

这与

的即

不妨设 试证：

的一个聚点。

的任意一项. 这里

这说明B 不可能是数列的聚点. 矛盾. 因此，是数列

4． 令f 是R 上周期为的函数，当时满足

(1) 证明f 的傅里叶级数具有形式并写出的积分表达式. (2) 该傅里叶级数是否一致

且

收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. (3) 证明

【答案】(1) 由于

.

(2) 不一致收敛. 由傅里叶级数收敛定理知

由于(3) 由干

在

上连续，但和函数在

是奇函数，所以f 的傅里叶级数具有形

另

上不连续，所以该傅里叶级数不一致收敛.

上可积且平方可积，所以Parseval 等式成立

5． 设

为递减正项数列. 证明：级数

同时收敛，同时发散.

的部分和分别是

由此知，若又因为

由此知，若于是

6． 设

与

收敛，则

有上界，故

也收敛.

收敛，则

有上界，从而

有上界，即

有上界，因此

有

收敛.

【答案】设正项级数

同时收敛，同时发散。

使对一切

均有

可微，且

在上连续，若存在常数

试证明：(1) 是

因为

上的一一映射；(2) 对一切

【答案】(1) 任取所以

(2)

即

是上的一一映射。 因为f

在处可微，即

所以使

则

由的任意性知，

7． 设

在

上有

阶导数且

及

求证：【答案】将

.

在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

则

由微分中值定理

二、解答题

8． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.

【答案】设三角形的三边分别为因此

其中因S

与

有相同的稳定点，考虑

则面积，且