2017年大连交通大学理学院601高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的3个线性无关的解，为任意
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组的两个线性无关的解.
则线性方程组（ ）•
4． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶实对称方阵. 证明：
①A 半正定②A 半正定【答案】由
有实方阵B 使（B 为实方阵或秩为r 的
得
故f 是半正定的. 因此，A 是半正定的.
反之，设A 是半正定的，且秩为r ，则有实可逆方阵P 使
① 由（4）得
其中
得
7． 问：3是否为
的根？是几重根？再在有理数域上分解
实矩阵，且由（4）
实矩阵）. 则
有秩为r 的n ×r 实矩阵B 使
，其中B 是P 的前r 列构成的秩为r （因为P 满秩）的②令P=（B ，C ）
【答案】解法I 对f （x ）及其商用综合除法
.
由此可知，3是f （x ）的2重根且
解法II 求f （x ）的逐阶导数法
.
用综合除法可知：
故3是f （x ）的2重根.