2017年西安理工大学理学院602数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数在
【答案】
设
在
朗日中值定理，得到
其中
2． 证明：(1)
(2)
【答案】(1) 设
间为
且y
可在
满足方程
满足方程
故
内任意阶可导，所以
(2) 设
故
具有任意阶导数，由
所以幂级数的收敛区间为
可得
所以又由
得
且和函数y
在
从而幂级数
的收敛区
因为
所以
上具有二阶导数，且
内的点
在
取得最大值，
于是
是的一个极值点. 由于
分别在区间
和
上对
并且
在应用拉格
内具有二阶导数，根据费马定理
，
内取得最大值. 试证：
3． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.
【答案】不妨设
若
取
同样，若若
有
且满足因为f (x ) 在由于
取
得证；
若
如此继续可得闭区间套
且
故有
处连续，故
所以
取满足
于是由闭区间套定理知存在惟一的
于是
若
若
得证；
取
于是
有
4． 设函数f 在(a, b) 内可导，且单调. 证明在(a，b ) 上连续.
【答案】设内递增且以定理知，
因为f (x )
在
可导，所以
.
于是
由
的任意性知
在(a，b ) 内递増. 设
则
在某个
内递增且以
为上界，
在
为下界. 根据单调有界定理知，极限
都存在. 再由导数极限
在(a, b) 内连续
二、解答题
5． 求不定积分
【答案】方法一：
因此
方法二：
由此推出
6． 试求心形线
【答案】所求平均值为
7． 设有半径为r 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小。
【答案】如图所示，
在处，
从
到
正电荷在垂直方向上的引力为
故导线与电荷的作用力为
图
8． 求下列函数的导数：
【答案】
上各点极径的平均值。
的一段导线的电量微元为它对圆心处的单位