2017年西北大学数学学院632数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1．
设函数
【答案】由于
在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数，
证明其中
为
沿L 外法线方向n 的导数.
所以
由题意知
在D 上具有连续导数，故由格林公式知
因此
2． 用柯西收敛准则证明
:
【答案】当n 适当大时，对任意的自然数p ，有
当
时，
为自然数，都有
由柯西收敛准则，
收敛.
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收敛.
3． 设f (x ) 在[0, 2]上二次可微，且
证明：【答案】
4． 证明：数.
【答案】
由
的凸性知
所有
即
.
故
为上的凸函数.
为
上的凸函数
.
因为函数.
为
上的凸函数，所以
为区间
上凸函数
函数
为
上的凸函
二、解答题
5． 试问k 为何值时，下列函数列
一致收敛：
【答案】⑴由
设则
又所以
故时取得上的最大值，从而
因此当(2)
当当为
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时，原函数列在时时，只要
就有
上一致收敛.
贝IJ 则
的极限函数
.
所以
时，原函数列在
上一致收敛.
6． 求下列函数的稳定点：
【答案】（1
）
故（2）
的稳定点是由
得
解得
故f （x ）的稳定点是x=l. 由
得
解
得
7． 检验一个半径为2米，中心角为弦长，设量角最大误差为确
.
，现可直接测量其中心角或此角所对的的工件面积（图）
量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为精
图
【答案】设弦长为1，则由量角引起的弦长误差
为
因此由量角引起的弦长最大误差为：
所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验，所得的结果较为准确.
8． 求下列极限：
【答案】(1)
在区域
上连续. 因此
(2)
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其中a 为中心角为量角误差，从而当时
又因为量角时的最大误差
为
在区域上连续，因此
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