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一、计算题

1． 已知

【答案】变量置换、反转，即平移，即相乘，即

与

相乘；

相加便得卷积和

2． 某连续时间实的因果LTI 系统的零、极点如图1所示，并已知该系统的单位冲激响应。试求:

，其中h （t ）为在序号为n 时的值。

求卷积

取和，固定n ，对所有k 值的乘积

图1

，并求h （t ）（l ）它是什么类型的系统（全通或最小相移系统）（应为实函数）; （2）写出它的线性实系数微分方程表示;

，该逆系统是可以实现的（即既因果又稳定）的吗? （3）它的逆系统的单位冲激响应气（t ）

【答案】（l ）由于该滤波器的零点全部在S 左半平面，因此，该因果系统为最小相位滤波器，由图1的系统零、极点分布，可写出其系统函数为

由

可知

故有

。

最终得到该系统的系统函数及其收敛域为

将上述有理系统函数用部分分式展开得

由于其是因果LTI 系统，其中h （t ）=0，t<0，因此，对上述部分分式反拉氏变换得

（2）由系统函数

，可得

根据单边拉斯变换的微分性质，可得系统输入输出微分方程为

（3）该逆系统是既稳定，又可以因果实现的系统。 该系统的逆系统之系统函数H l （s ）及其收敛域为

并进一步展开为部分分式，即

这是一个因果稳定的系统函数，对上述部分分式进行反拉氏变换得

因此，该逆系统是既稳定，又可以因果实现的系统。

3． 有如图所示信号f （t ）。

图

（l ）求指数型和三角型傅里叶级数； （2）求级数【答案】（1）

因而指数型傅里叶级数为

之和。

由于所以又

因而三角型傅里叶级数为

（2）当

时，有

因而级数和为

4． 已知离散系统状态方程和输出方程为

零输入响应

（l ）求常数a 和b ;

（2）求状态变量x 1（k ）、x 2（k ）。

【答案】（1） 因为状态方程和输出方程可表示为

所以可得出

k k

因为y （k ）=8（-1）-5（-2），所以系统的特征根a 1=-1，a 2=-2，即矩阵A 的特征根。又由

状态方程得特征方程