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一、计算题

1． 长度为8的有限长序列

的8点DFT 为

长度为16的一个新序列定义为

试用来表示

【答案】

而

因此,

当

时,

当

时,

, 得到:

即

于是有

2． 已知周期序列

求:

【答案】由傅里叶变换得:

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令

其中:

又因为

则有:

3． 用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹（Butterworth ）高通滤波器, 技术指标为:

【答案】由题意可知:

可以用两种方法设计离散时间高通滤波器:

法1:先设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器, 然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器, 再在z 域进行低通到高通的转换.

法2:在双线性变换前就在s 平面域进行低通到高通的转换, 然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器. 两种方法会得到同样的设计结果.

采用法2:设计符合题目要求的离散时间巴特沃兹高通滤波器. 将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域,

且有:

则有:

用变换

将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率, 则有:

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所以模拟滤波器的选择因子为:

判别因子为:

因此, 所需的巴特沃兹滤波器的阶数为:

取 N=3, 则:

可取如取则所求得的低通巴特沃兹滤波器为:

用低通到高通的转换关系将低通滤波器转换为高通滤波器:

最后采用双线性变换

4． 试利用x （n ）的z 变换求

【答案】利用z 变换的性质:

的z 变换.

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