2017年武汉科技大学理学院840数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明不等式
【答案】由于
在
.
恒大于0, 令，
显然
在
上连续.
证原不等式可转化为证由于
令则
所以从而
所以
即
上单调递增，所以
即，
2． 定义双曲函数如下：
双曲正弦函数
双曲余切函数
证明：
【答案】
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单调递增，故
从而
双曲余弦函数
双曲正切函数
3． 设f (x ) 是区间
使得
(1) (2)
恰好是
是或
当当
时，取时，取
且
重复上述过程：若对任意
或有
或者存在
此时，因为假如
即所以
由于矛盾.
并且
有
是
在
上的最小值
是
在上
且
递増有上界
且
使
使
递减有下界，所以存在
是连续函数，可以推出
使
这样再重复上述过程，得到
有时，
取
此时结论成立.
【答案】因为
在若对任
意
则有则有
则结论成立. 否则，即存在点
有
且当
有
时，
取
使得
使得
即总存在
上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以
有
设
使
则结论成立. 否则，即存在
点
上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：
存在
的最大值.
4． 应用詹森不等式证明：
⑴设
有
(2) 设
【答案】(1)
设
有则
其中由
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可知
为区间
上严格凸函数. 根据詹森不等式有
即
因而
把这个不等式中的n 个正数换成
于是原不等式得证。 (2) 设代入
得
于是
令
得
不等式两端同时乘以
再对
时的不等式两端分别相加，得
由(1) 知
为凸函数，令
则得到
二、解答题
5． 在曲线
设曲线在即I
所以所求点为
6． 计算曲线积分
和点【答案】
其中
和
为连续函数; AMB
为连接点
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上求出一点，使曲线在此点的切线平行于平面
则有
解之獨
或
；
处的切线平行于平面
【答案】对曲线上任意一点
的任何路线，但与直线段AB 围成己知大小为S 的面积。