2016年广西民族大学理学院高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 利用等价无穷小的性质，求下列极限：
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）
； （n 、m 为正整数）
（3）
注:在作等价无穷小的代换求极限时，可以对分子或分母中的一个或若干个因子作代换，但不能对分子或分母中的某个加项作代换。例如，本题中若将分子中的tanx 、sinx 均换成x ，那么分子成为0，得出极限为0， 这就导致错误的结果。
（4） 2． 设
【答案】当
时，则
当
时，则
求及。
故
3． 利用函数
【答案】先求函数
的三阶泰勒公式，计算
的近似值。
在点（1, 1）的三阶泰勒公式。
又
将以上各项代入三阶泰勒公式. 便得
因此
4． 求数列
的最大项
时,
；当
时,
, 因此点, 由
及
【答案】取函数
=0, 得驻点x=e。令f’（x ）当
为f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值点也是最大值点且最大值为在（e , +又
）内单调减少, 知
, 故数列
的最大项为
5． 把抛物线y 2=4ax及直线x=x0（x 0>0）所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转题的体积。
【答案】该体积即为
，x=x0及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得，因此体积为
6． 求平面
【答案】设交线上的点为在约束条件
和和柱面
，它到
的交线上与
平面距离最短的点。
。问题就成为求函数
面上距离的平方为
下的最小值问题。作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
解次方程组，
得
可知，距离最短的点必定存在，因此
。于是，
得可能的极值点就是所求的点。
。由问题本身
二、证明题
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