2018年广西大学林学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设
为来自指数分布
的样本
，
为来自指数分布
的样本，且两
组样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为由微分法容易求出在而在
下参数的最大似然估计为
’
' ，
下参数的最大似然估计为
则似然比统计量为
由求导可知，函数’
故此似然比检验拒绝域可等价写为这就证明了（2）的结论.
为先减后增的单峰函数，
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到诸与诸间的独立性，在原假设有如下抽样分布:
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成立下，
2． 设随机变量X 服从
【答案】X 的密度函数为
上的均匀分布，求随机变量的密度函数
由于X 在间外，
当
内取值，所以时，使
的可能取值区间为（0, 1）. 在Y 的可能取值区
的x 取值范围为两个互不相交的区间
, 如图
，其中
图
故
在上式两端对y 求导，得
即
3． 口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的. 现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？
【答案】记事件A 为“取出的是白球”，事件B 为“原来那个球是白球”. 容易看出:得
4． 设随机变量X 与Y 相互独立，其联合分布列为
表1
，
是合理的. 由贝叶斯公式
另外由于对袋中原来那个球的颜色一无所知，故设
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试求联合分布列中的a ，b ，c.
【答案】先对联合分布列按行、按列求和，求出边际分布列如下:
表
2
由X 与Y 的独立性，从上表的第2行、第2列知从上表的第2行、第1列知性知:
5． 设
【答案】
由此得c=l/6.
，求a 和
的联合密度函数为:
, 从中解得b=2/9, 再
，从中解得a=1/18, 最后由联合分布列的正则
的UMVUE.
设即
是0的任一无偏估计，则
将
式两端对a 求导，并注意到
有
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