2017年温州大学常微分方程、复变函数、概率统计(三选一)之概率论与数理统计教程考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从正态分布概率之比为7:24:38:24:
7.
【答案】由题设条件知
所以 （1）由
于
由此得a=55.56.
（2）由
于
由此得b=58.5.
（3）由（4）由
查表得查表得
由此得c=61.5. 由此得d=64.44.
和
这就给出了
的分布列
表
类似地, 从而
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试求实数a ，b ，c ，d 使得X 落在如下五个区间中的
即即
因此查表
得因此查表
得
2． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求
【答案】由条件知P （AB ）=P（A ）P （B ）=0，所以
3 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本, 试分别求．
【答案】由古典概率可得
的分布.
这就给出
的分布列
表
4． 设总体为均匀分布
求θ的后验分布.
【答案】当联合分布为
其
中
或
此
处
观
测
值
为
它位于区间（10，16）内，故后验密度函数为
即θ的后验分布为U （11.1, 11.7）.
5． 设随机变量X 的概率密度函数为
对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为
所以
6． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，
你认为他是否有诀窍？（取
）.
【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题：
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的先验分布是均匀分布U （10，16）. 现有三个观测值
：
i=l，2，3，10＜θ＜16，即
时，
的
的数学期望.
表示，从而
以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，x 〜b （100，0.5）, 由于样本量相当大，检验统计量可取为
检验的p 值近似为
因此应拒绝原假设，看来此人猜硬币有某种诀窍.
7． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用. （B ）
8． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
（1）求（2）求（3）求【答案】（1）
的非零区域与
的交集为图（a ）阴影部分, 所以
（2）
的非零区域与
的交集为图（b ）阴影部分, 所以
又因为的非零区域与
的交集为图（c ）阴影部分, 所以
（3）
的非零区域与
的交集为图（d ）阴影部分, 所以
在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1），故检验拒绝域
为
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