2017年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明反常积分
【答案】因为
所以只需证明记
收敛即可.
则对任意u>l,
g (x ) 在
上单调递减，并且收敛，故
2． 证明极限
【答案】由(1) 的结果，
对每
存在.
有
令
则
即由
得存在.
严格单调递减，根据单调有界定理，知
收敛，即
存在，故
有下界，
收敛.
由狄利克雷判别法可知
是收敛的.
3． 设函数项级数
(1) 证明此级数在(2) 求其和函数.
【答案】(1) 对每一个固定的x>0, 有
上收敛但不一致收敛；
利用正项级数的比较判别法知，但由于致收敛.
(2)
设
由于级数的通项出. 因此，如果级数(1) 知，
在
在
是以
为公比的几何级数，其和可以求
上收敛. 所以级数
上不一
上满足逐项求导定理的条件，那么S (x ) 便可求出. 但由
在
上考虑上述问题
.
显然
在
上有连
上不满足逐项求
上不一致收敛，也就是说
导定理的条件. 为了克服这一困难，
我们在缩小的区间
使
续的导数. 由
记
知，于是可得
特别地，
由
的任意性，
都有
在
上一致收敛. 因此，
在
上可逐项求导，
二、解答题
4． 求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：
【答案】(1) 因
所以切线方程为
即
法平面方程为
即
(2
)
所以
故切平线方程为
法平面为
5． 应用柯西准则判别下列级数的敛散性.
(1
) (2
) (3
) (4
)
【答案】(1) 任意的自然数P ，
又
从而任给
的
存
在
当
时，对任意的正整数P ，
有
，由柯西准则得原级数收敛.
(2) 当 p=l 时，
由柯西准则知原级数发散.
(3) 任给的自然数p (不管是奇数还是偶数) ，
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