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一、计算题

1． xOy 坐标面上的双曲线的方程.

【答案】以

周而生成的旋转曲面方程为

即

以

的旋转曲面方程为

即

2． 将函数

【答案】（1）展开成正弦级数： 将f （x ）作奇延拓，得得

则

满足收敛定理的条件，且在

上

，再将并有间断点

故

（2）展开成余弦级数： 将f （x ）作偶延拓，得则

满足收敛定理的条件，在

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分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面

代替双曲线方程

中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一

代替双曲线方程中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成

分别展开成正弦级数和余弦级数。

作周期延拓，

再将

上

作周期延拓得，

且有间断点x=h。

故

3． 将xOz 坐标面上的圆

【答案】以即

4． 求方程

的近似根, 使误差不超过0.01。

在[l, 3]上连续, 且, 使

, 即方程

,

在区间（1, 3）内至少有一

绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

代替圆方程

中的x ，得

【答案】设函数

由零点定理知至少存在一点实根。又方程

, 即

, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而在（l , 3）内有惟一的实根。

在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:

故误差不超过0.01的根的近似值为

5． 试求函数

【答案】

6． 求过点

【答案】

将点

, 因此

时的导数。

的线段，

垂直的平面方程. ，设所求平面方程为

（2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点

=（2，9，﹣6）. 所求平面与

垂直，可取n=

2x ＋9y －6z ＋D=O

（2，9，﹣6）代入上式，得D=﹣121. 故所求平面方程为

2x ＋9y －6z －121=0

7． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。

【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围

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为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为

，面积为adx ，因此压力为

图

8． 求对数螺线

【答案】

及射线

所围成的图形的面积.

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