2017年河北大学数学与信息科学学院834高等代数与解析几何考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 验证函
数
并利用此结果求幂级数
【答案】（1）因为
以上三式相加得
所以函数y （x ）满足微分方程（2）根为
对应的齐次方程因此齐次方程的通解为
设非齐次微分方程的特解为
且非齐次微分方程的通解为
由（1）知，幂级数的和函数y （x ）满足：
解得
于是由微分方程初值问题解的唯一性，可得所求幂级数的和函数为
2． 求下列函数的二阶导数：
【
答
案
】
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满足微分方
程
的和函数。
的特征方程为
代入方程
得
于是
由此定出上式中的C 1与C 2,
令
（1）
（2）
3． 把对坐标的曲面积分
化成对面积的曲面积分，其中： （1）是平面（2）是抛物面【答案】（1）由于
在第一卦限的部分的上侧； 在xOy 面上方的部分的上侧。
取上侧，故在任一点处的单位法向量为
于是
（2）由于
取上侧，故在其上任一点
于是
3
4． 己知某车间的容积为30×30×6m ，. 现以含CO 20.04%其中的空气含0.12%的CO （以容积计算）2的新 鲜空气输入，问每分钟应输人多少，才能在30 min后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?（假定输入的新鲜 空气与原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排出. ）
3
，则【答案】设每分钟输入v （m ）的空气. 又设在时刻t 车间中CO2的浓度为x=x（t ）（%）
处的单位法向量为
在时间间隔[t，t +dt]内，车间内CO 2的含量的改变量为
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即
且
即
代入初始条件
依题意，当t=30时，
故每分钟至少输入新鲜空气
5． 设有界区域分
将
将上述微分方程两端积分，得
可得于是有
代入上式，解得
整个表面的外侧，计算曲面积
由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为
.
【答案】所求积分满足高斯公式条件，
6． 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:
，所以
【答案】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，有
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