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一、选择题

1． 设

其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为

2． 设线性方程组

=（ ）.

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

【答案】（C ） 【解析】设即证秩

3． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

4． 若

【答案】C

都是4维列向量，且4阶行列式

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

5． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 设

【答案】例如，

举例指出，

不一定是f （x ）与g （x ）的最大公因式.

再证明：d （x ）是f （x ）与g （x ）的最大公因式当且仅当d （x ）是它们的公因式.

最大公因式当然是公因式. 又若d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个公因式且

则由此知，f （X ）与g （X ）的任一公因式显然都是d （X ）的因式. 因此，d （X ）是f （x ）与g （x ）的最大公因式.

7． 设E 为n 阶单位矩阵，a ，b 为给定的n 维列向量，并有

证明：

是正定矩阵. 【答案】当

时，显然

所以有

正定.

令

则有H ，为对称阵，且

所以

的特征值为

从而h ，半正定. 所以H 是正定矩阵.

8． 设是数域K 上线性空间V 到的一个同构映射.

证明：V 的子空间在之下的像是由于

于是

因此，②设由于

的子空间. 的一个子空间，

为其逆像.

的子空间，的子空间在之下的逆像是V 的子空间.

【答案】 ①设W 是V 的一个子空间，像为

任取