2017年新疆大学数学与系统科学学院818高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
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则线性方程组（ ）•
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
分别为A ，B 的伴随矩阵，
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
4． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知
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所以
二、分析计算题
6． 已知
（1）求A 的不变因子，初等因子和最小多项式. （2）求A 的若当标准形. 【答案】（1）用初等变换将
化为标准形，
于是A 的不变因子是最小多项式为
（2）A 的若当标准形为
7． 设线性空间V 中的向量组
（1）试问：向量组（2）求向量组【答案】（1）令
线性无关.
是否线性无关？要求说明理由.
生成的线性空间W 的一个基以及W 的维数.
那么
初等因子是
线性相关.
（2）由①式看出
，0）,
且令
且
为W 的一组基.
为它的一个极大线性无关组.
线性无关（因为左上角有一个三阶子式不为
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