2018年中国民航大学理学院817高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
是（ ）二次型.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定
D , 故选B.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如
则为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E. 4． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
则
=
（
）.
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
5． 设A
为矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
常数，则
的通解为（ ）.
A.
B.
C. D.
【答案】C 【解析】由于是非齐次线性方程组的三个线性无关的解， 所以
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
为任意
又显然有基础解系.
考虑到
（否则与是.
有解矛盾），所以从而是的一个
的一个特解，所以选C.
二、分析计算题
6． 设
【答案】
应用辗转相除法可得
所以f （x ）有重因式. 又
所以f （x ）的不可约因式只有x+1和x-2考虑到的4重因式. 因此，f （x ）的标准分解式是
7． 设其以
【答案】因为所以
因为1不是
的根，所以有
取
则
是一个以
. 为根（即以
矩阵，
且线性表示，同理
判断f （x ）是否有重因式，并求f （x ）的标准分解式.
可知x+1是f （x ）
，为根。
且是的根，求一个整系数多项式，使
为根）的整系数多项式.
证明：存在可逆矩阵T , 使得因为
可以由
所以
线性表示，故A ，
8． 设A ，B ，U , V 均为
可以由
【答案】将A , B 按列分块，
记
B 的列向量组等价，于是存在可逆矩阵T , 使得