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一、计算题

1． 设的渐近分布为

是从均匀分布U （0, 5）抽取的样本, 试求样本均值的渐近分布.

【答案】均匀分布U （0, 5）的均值和方差分别为5/2和25/12, 样本容量为25, 因而样本均值

2． 设随机变量X 服从区间（-1，1）上的均匀分布，求：

（1）（2）【答案】⑴

（2

）

当y<0时

，

所以得

3． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.

【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为

这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.

4． 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍.

（1）求任取一个零件是合格品的概率；

（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率. 【答案】记事件A 为“取到第一台车床加工的零件”，则

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的密度函数.

当时

，

当时

，

. 利用棣莫-拉普拉斯中心

又记事件B 为“取到合

格品

（1）用全概率公式

（2）用贝叶斯公式

5． 设

记

为

独立同分布，的取值有四种可能，其概率分别为

中出现各种可能结果的次数，

使

为θ的无偏估计；

所以

从而有

（1）确定【答案】（1）由于

（2）将V ar （T ）与θ的无偏估计方差的C-R 下界比较.

若使T 为θ的无偏估计，即要求

解之得

即（2）

对数似然函数为（略去与θ无关的项）

于是

注意到观测量

是随机变量，且

故

从而费希尔信息量为

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是θ的无偏估计.

所以0的无偏估计方差的C-R 下界为由于

于是

的方差为

即T 的方差没有达到θ的无偏估计方差的C-R 下界.

6． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m ，都有

【答案】由无记忆性知

或

若把n 换成n-1仍有

上两式相减可得

若取n=m=l，并设P （X=l）=p，则有

若取n=2，m=l，可得

若令

则用数学归纳法可推得

这表明X 的分布就是几何分布.

7． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率.

【答案】记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有四个等可能样本点：

若令事件A 表示“取出的两个正整数之

和为偶数”，

则从而P （A ）=1/2.

8． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.

【答案】记

则

是同分布的, 但不独立. 其共同分布为

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则X 的分布一定是几何分布.