2017年北方工业大学线性代数与概率统计(同等学力加试)之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求E （Y/X）. 【答案】
2． 设
是来自几何分布的样本，总体分布列为
θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；
（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为
于是
因此，θ的后验分布为
（2）当有观测值为4, 3, 1，6时，θ的后验分布为Be （5, 15）, 若采用后验期望估计，
则有
3． 设
【答案】由于
是总体
的一个样本, 求
的分布.
为独立同分布的N （0, 1）随机变量, 故
且两者独立, 故
4． 设
【答案】
，试求
5． 每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99%的把握击中飞机，需要几门高射炮？
【答案】设共需要n 门高射炮，
记事件
而
由此得
两边取对数解得
所以取n=13，可以有99%的把握
击中飞机.
6． 掷一颗均匀的骰子2次, 其最小点数记为X , 求E （X ）.
【答案】X 的分布列为
表
所以
为“第i 门炮射击命中目标”，i=l，2，…，n.
则
7． 某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题. 他可以自行决定回答这两个问题的顺序. 如果他先回答一个问题，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题. 如果他有60%的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有80%的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励. 问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？
【答案】记X 为回答顺序为1，2时，所获得的奖励，则X 的分布列为
表
1
由此得E （X ）=168（元）
又记Y 为回答顺序为2，1时，所获得的奖励，则Y 的分布列为
表
2
由此得E （Y ）=176（元）
因此应该先回答问题2，可以使获得的奖励的期望值最大.
8． 设律？
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
为独立的随机变量序列, 其中
服从参数为
的泊松分布, 试问
是否服从大数定
二、证明题
9． 设总体X 的分布函数为
【答案】设
经验分布函数为
试证
是取自总体分布函数为
的样本, 则经验分布函数为
若令于是
又
可写为
, 故有
10．设二维随机变量
服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为
是来自该总体的样本, 证明:
二维统计量
该二元正态分布族的充分统计量.
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处,
故
则是独立同分布的随机变量, 且
是