2017年安庆师范学院概率论(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 一地质学家为研宄密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数. 假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例P 的最大似然估计. 该地质学家所得的数据如下表：
表
【答案】本题中，总体X 为样品中石灰石的个数，且X 服从参数为（10, P ）的二项分布，即
为样本，则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
将对数似然函数关于P 求导并令其为0得到似然方程
解之得
由于
由二阶导数的性质知，P 的最大似然估计为
2． 若
【答案】
其中试求
3． 某箱装100件产品, 其中一、二和三等品分别为80, 10和10件. 现从中随机取一件, 定义三个随机变量
如下
试求随机变量【答案】因为
和
的相关系数
所以有
由多项分布可导出
的联合分布列如下
表
1
譬如,
表
2
所以
由此得
4． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率.
【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有
个，而事件“第一个盒子中有
种可能；第二
3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球中任取3个放在第一个盒子中，这有
由此获得乘积
的分布列
步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，这有29种可能，于是所求概率为
5． 设X , Y 独立同分布, 都服从标准正态分布N （0, 1）, 求
【答案】因为X , Y 独立, 都服从N （0, 1）, 所以
由于
所以
.
又因为
6． 在一本书上我们随机地检查了10页, 发现每页上的错误数为
试计算其样本均值、样本方差和样本标准差. 【答案】样本均值
样本标准差
7． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
，其中
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ）
因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为
8． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为
设鱼的含汞量服从正态分布试检验假设（取
当α=0.10时，查表知
由样本观测值计算得到
故在显著性水平0.1下接受原假设.
样本方差
）.
【答案】这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题，
检验的拒绝域为
二、证明题
9． 设随机变量序列证:
【答案】己知则
对任意的
由切比雪夫不等式得
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试