2017年湖南大学金融与统计学院813高等代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A ，B 为数域K 上间. 证明：
【答案】设而ABX=0
的解空间的维数显然
现任取
的一基，设为
再扩充成的一基，设为
于是下证
且显然
线性无关：若
故可由（11）线性表示，设
但（12）线性无关，故因此，
2． （1）设方幂和，即将
其中（2）设
【答案】（1）因为
所以
（2）证明因为
所以
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矩阵，又是n 元（列）空间的子空
则方程组未知矩阵）的解空间的维数
则
但是，
将
. 秩，由此即得（10）
表成的
证明：
，是的基，
表成
使
而
所以存在多项式将式（1）两边同乘式（2）代入式（3）得
得
使
所以 3． 若
是正定阵，诹
也是正定阵，且
【答案】A 是正定矩阵的顺序主子阵，因而正定，从而I1正定.
又即所以
合同汙
正定.
（2）
由所以
结合式（2）, 证完.
4． 证明：如果
那么f （x ）的根只能是零或单位根.
于是
可推出也是f （x ）的一个根. 因而只能有有限多个根，因此必有
使
若
则
故a 是一个单位根或零.
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从@
正定.
对式（1）两边取行列式得
正定，所以半正定.
【答案】如果a 是f （x ）的一个根，则
都是的根. 因为
5． 设是线性空间V 中线性无关向量组，而
证明：向量组
线性无关.
线性无关，从
而
可由
线性表示，从而有
均线性相关
，线性无关，
又
【答案】由题
设线性相关，从而有
这里
而
线性无关.
是f （x ）的根，则
其中
去除
所得到
也是
的根.
线性无关，所以向量组
6． 设f （x ）是次数大于零的整系数多项式，若
【答案】设
的余式. 由带佘除法定理，可设
而所以
的根，即
即有
可见
的根.
的行元素和必为
7． 如果非奇异n 阶方阵A 的每行元素和均为a ，试证明：
【答案】由假设有
由A 非奇异，从而A 可逆，用
左乘①式两端得
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