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一、证明题

1． 设f 在[-a, a]上可积. 证明:

（1）若f 为奇函数, 则（2）若f 为偶函数, 则【答案】因为于是

（1）若f （X ）为奇函数, 则（2）若f （x ）为偶函数, 则

,

故, 故

.

对右边第一个积分作代换x=—t , 则得

2． 证明:若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, g （x , y ）在D 上可积且不变号, 则存在一点

使 得

【答案】不妨设

. 令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值, 从而

若若

, 则由上式, 则必大于0, 于是

由介值性定理, 存在

, 使得

即

. 于是任取

即可.

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3．

设

在

上二次连续可微,

且,

证明:

其中

【答案】由Taylor. 展开式知 取

对②积分得到

从而有

4． 给定积分满足

证明:

【答案】利用复合函数的微分法, 有

通过计算易知

代入①得到

①

②

, 作正则变换, 区域D 变为, 如果变换

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注意到

可得

5．

设

【答案】

下证

是数列

（反证法）.

假设x

不是数列因为

对

,

则一定有

矛盾. 于是必有

此, 是数列的一个聚点.

6． 设y=f（u ）在[A, B]上连续,

证明:

, 当

因此作[a, b]的分割之后, 在则

只要从而

由此知, 在

上, 若

必有

, 故

这样, 条件的

必要性对上述的

和>0, 分割T , 使得

‘试证

:数列的一个聚点.

的聚点,

则存在

的聚点全体恰为闭区间

不含有数列 N ,

当

时

, 有

|这是因为

于是

的任意一项.

这里

即. 不妨设. 这与

的聚点. 矛盾. 因

, 所

以存在自然数来说, 或者

或者

如若不然, 则有

这说明B 不可能是数列

在[a, b]上可积.

当时

,

,

.

在[a, b]上可积.

时, 有

上

, 若

事实上,

必有

的振幅

, ,

的振幅

【答案】由于f （u ）在[A, B]上连续, 所以它在[A

, B]上一致连续, 即

, 先找使式（1）成立. 再由在[a, b]上的可积性, 利用第三充要