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一、填空题

1． 多项式

【答案】【解析】设

将

代入上式，得

由商式和余式的惟一性即得.

除以.

所得余式为_____..

2． 已知方程组

【答案】-1 【解析】

且已知原方程组无解秩

秩

无解，则a=_____.

，

此即

3． 设矩阵A , 满足

【答案】【解析】因为

故

其中E 是单位矩阵，则________

4． 设矩阵

则A 的秩为_____ 【答案】【解析】由

3

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可知秩为

二、分析计算题

5． 求下列多项式的所有有理根：

【答案】①若

且

故

不是

的根. 又由于

故只有2.

②由于4的因数为：

中：

. 但由于

又因为经验算可知，它确为

③同理，若由于因此，④同理，若由于又由于

故以上诸有理数都不是

的根，因此，

没有有理根.

求出的所有不变子空间

使

构成V 的基, 进而此基

6． 设是n 维线性空间V 的线性变换, 且

【答案】由下的矩阵为

则存在都不能整除

故

的根且为一个2重根.

有有理根，则必为整数且必为3的因数故知-1是

的根，且逐次用综合除法知

的根全为整数且3是单根，-1是4重根. 有有理根，必在以下诸数之中：

故±1都不是

的根.

都不能整除

.

，故

都不是都不是

的根.

的根. 于是只剩下

,

而1的因数为

，故若

有有理根，必在以下诸数

都不是

的根，只剩下2经用综合除法知，确为其根，故

的有理根

有有理

根，

则必为整数且为14的因数，由于14的因数为：

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一子空间, 个. 设W 是

子空间,

故

个不变子空间. 下面证明令

两边用得则子空间恰有上述

7． （1）将幂矩阵

（

2）有分块矩阵

个. 作用得

, 如此进行下去, 得

是

子空间恰有上述

于是

则

是

的是W 的基,

等式右端第一个非零系数为. 于是

令

. 由式（1）知

再用

（1）

作用于（1）,

, , 故一

化为一次幂矩阵

；

是对称矩阵, 且其中A 为非奇异矩阵, 证明

:此矩阵与下列矩阵合同:

【答案】 （1）设 将

和

代入①得

, 则

①

解得

所以

（2）由于 若令

则

且②式变为

此即证两矩阵合同.

因此且

②