2018年北京师范大学数学科学学院601专业基础(数学分析85分、高等代数65分)之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 问是否存在n 阶方阵A , B , 满足性变换注意到若.
2． 设A 是一个n 级复矩阵, 是
的k 重根, 则【答案】设
其中
互不相同,
（1）先证必要性. 设A 相似于对角阵, 即存在可逆阵
使
且
是A 的特征多项式, 求证:A 可对角化的充分必要条件是如果n
，满足
，得
则相应的有
（单位矩阵）? 又是否存在n 维线性空间上的线
，则两边取矩阵的迹，并
在这个基下的矩阵分别为A , B ,
:恒等变换）? 若是，举出例子；若否，给出证明. 矛盾. 所以不存在方阵A , B , 使
【答案】否, 下面给予证明. 对于任意n 阶方阵A , B , 若对于线性变换A , B , 取线性空间的一个基，
并设
，矛盾. 所以不存在n 维线性空间上的线性变换A , B ,
满足
的秩等于
则
所以秩类似可证
（2）再证充分性. 由于
因此
的基础解系所含向量为
个
那么
在在在
中, 有个线性无关的特征向量为中有
个线性无关的特征向量为
中有个线性无关的特征向量为
而且不同特征值的特征向量又线性无关, 令
且T 为可逆阵, 而
此即
特征值的代数重数=它的几何重数.
故A 可对角化. 注本题是证明:A 可对角化
3． 设2, 1, —1为三阶方阵A 的特征值, 且对应的特征向量分别为以下三个向量, 求
A.
【答案】因为A 是三阶方阵且三个特征值互异, 故其所对应的 三个特征向量线性无关. 现以其作列得可逆方阵
且
并且A 可对角化, 即有
从而
4． 设A , B都是实对称矩阵, 证明:存在正交矩阵T 使项式的根全部相同.
【答案】因为A , B 都是实对称矩阵. 故有正交矩阵
使
的充分必要条件是A , B的特征多
其中
全部相同, 则可重新排列
分别是A 与B 的全部特征值. 如果A , B 的特征多项式的根的次序使
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于是
即A 与B 相似, 这就证明了条件的充分性.
由于相似矩阵有相同的特征多项式, 所以条件是必要的.
5． 证明：矩阵方程解情况下，当
有解
时，方程有无穷多解.
在有
时，方程有唯一解；当
【答案】
因为所以A 的列向量组的极大无关组即为矩阵（A ，B ）
的列向量的极大无关组.
从而B 的列向量
可由A 的列向量线性表示，令
则矩阵1
若
有解C ，即
是方程的解.
则B 的列是A 的列的线性组合. 因而A 的列向量组与（A ,
B ）的列向量组等价.
所以
在有解时，记（1）（2）
为B 的第i 列
有唯一解
有无穷多解.
取
（2）唯一性. 如还有
C 正定.
这里.
显有
且B 为正定矩阵.
均有无穷多解，所以矩阵方程
有唯一解时，线性方程组
6．
设A 为正定矩阵，证明对任一正整数m ，存在唯一的正定矩阵B ，使
【答案】（1）因为A 正定，所以存在正交阵T , 使
由于B 为实对称矩阵，所以B 有n 个线性无关的特征向量
取 由于
即
设
则