2018年北京师范大学数学科学学院955专业综合一(高等代数,空间解析几何)之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设x 1, x 2, x 3是多项式
试求
，
而由牛顿公式得
即
而
所以有
的根
【答案】由韦达定理得
2． 已知.
【答案】因为
令
其中a ，b 为待定常数.
当结合
时，
而
求
所以A 的最小多项式为
代入得
代入式（2）得
将A 代入式（1），
在式（1）两边同取一阶导数，且以
是A 的最小多项式，有
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
3． 设
与是数域
P 上两个线性无关的
n 维向量组
，证明
：
的维数等于齐次线性方程组
（1）的解空间的维数.
【答案】方程组（1）的系数矩阵是空间W 的维数是
由维数公式，得
未知量的个数为因而解
这里注意到：向量组
4． 设令
求W 的维数与一组基. 【答案】解法1 由‘
是V 的基. 事实上, 由行下去知（2）线性无关. 由于是
线性无关. 这里注意到
有
可以用（2）线性表示,
则故
的次数为m , 则
由带余除法定理可设
于是
可以用（3）线性表示, 则（3）是W 的生成元, 故（3）是W 的基, 从而
（3）
故
个矩阵
（1） 我们证明
（2）
可以用（2）线性表示,
则V 关于矩阵加法及数乘运算构成P 上的线性空间, A 为V 上的一个固定矩阵,
与
等价，其秩相等.
线性相关, 设式（1）中自左至右第一个能用前面的矩阵线性表示的矩阵是
则E 线性无关；由A 不能用E 线性表示, 则E , A 线性无关；如此进可以用（
2）线性表示, 故（2）是
V 的基, 且
解法2设A 的最小多项式
专注考研专业课
13年，提供海量考研优质文档！
5． 已知4阶方阵
线性无关
，
通解.
【答案】解法
1令
得
如果
均为4维列向量
，其中求线性方程组
的
则由
将由
代入上式，整理后得
线性无关，知
解此方程组得
k 为任意常数. 解法2
由
只包含一个向量. 由解，所以其通解为
为任意常数.
再由程组 6． 设
是任意复数, 求矩阵
芦的一个特解，于是
”的通解为
为任意常数.
知
，
为非齐次线性方
线性无关及
知
知，
A 的秩为3
, 因此
为齐次线性方程
的基础解系中
的一个
的特征值与特征向量. 【答案】若
, 则
于是
是B 的n 重特征值, 任意非零列向量都是
的特