2018年郑州大学联合培养单位黄淮学院655数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
射; （2）证明:f 在
【答案】（1）因为
所以
由于（2）对于即
且
故一一映射, 由
有
根据定理有
2． 设f :
可微, 且在上连续, 若存在常数c>0, 使对一切
.
试证明:（1） f 是上的一一映射; （2）对一切【答案】（1）任取所以（2）
. 因为
, 即f 是上的一一映射. , 因为f 在x 0处可微, 即
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, （1）证明:当时, <
.
, 但在R 上, f 不是一一映
2
上是一一映射, 并求
, 故在R 上f 不是一一映射.
当且仅当
2
, 当且仅当, 且, 因此f 在D 上是
, 均有
.
所以则
使
由
的任意性知,
.
有
【答案】
,
由于f （x ）在[0, 1]上连续, 从而f （x ）在[0, 1]上有界, 即于是已知
4．
利用不等式
为有界数列.
【答案】由不等式令
则有
得到
于是
因此,
为递减数列, 由此推出
于是
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3． 证明:若f （x ）在[0, 1]上可导, 且f （0）=0, 对
, 则
有
有
,
故当
时有f （X ）=0
卿f （1）=0.从而证明
:
有f （x ）=0.
为递减数列,
并由此推出
因为f （x ）在点x=l左连续, 所以
即为有界数列.
二、解答题
5． 求下列函数的高阶导数:
（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）
（3）
（4）
由莱布尼茨公式有
6． 求
【答案】方法一令通过计算易知
, =-1.注意到
于是有
由此可见, f （x , y）在全平面上无最大值. 而另一方面, :即f （x , y）在有界闭域:方法二:先固定x , 求显然
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, 求, 求
, 求, 求
; ;
; .
.
,
,
在全平面上的最大最小值.
,
, 可得驻点（1, 0）.
, 所以（1, 0）为极小点, 极小值为f （1, 0）
, 当或时
上的最小值-1必是f （x , y ）在全平面上的最小值.
. 将f （x , y ）改写为: