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一、解答题

1． 已知数列

【答案】

, 设

已知, 则

2． 试求不定积分

进而求出不定积分【答案】

其中

为任意常数

. 可得

可得

3． 确定正数

使曲面

【答案】设两曲面在点

与椭球面

相切, 则曲面

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的极限存在, 求此极限.

与

①

②

在某一点相切（即在该点有公共切平面）.

在点

的切平面

与椭球面在点的切平面

应为一个平面, 所以

即

又从而

故所求的正数

4． 求由分的区域, 则

作广义球坐标变换:

所围的立体的体积.

上, 用

表示位于第一卦限部

, 所以

yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、

故

5． 计算下列曲线积分:

（1）（2）

其中L 是由

和x+y=2所围的闭曲线;

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其中L 为双纽线

（3）（4）B :

（5）（6）

其中L 为圆锥螺线

L 是以a 为半径, 圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点, L 是抛物线

从A （0, ﹣4）到B （2, 0）的一段;

.

,

若从x 轴

,

L 是维维安尼曲线

正向看去, L 是逆时针方向讲行的.

【答案】（1）闭曲线L 如图1所示, 其中AOB —段为, AB —

段为

,

, 所以

图1

（2）双纽线在第一象限的参数方程为其极坐标方程是故

由于被积函数与L 的对称性, 有

（3）由所以

（4）有向曲线L 如图2所示,

它的参量方程是

, 所以

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,

有

曲线从

到