2017年东北理工大学代数基础(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设X 、Y ，是两个n 维向量，A 为n 阶实方阵，证明：
（1）若A 半正定，则（2）若A 正定，则
【答案】（1）因为A 半正定，故存在正交阵T ，使
由柯西公式得
（2）因为A 正定，故存在正交阵T ，
所以
取
则
所以
2． 设
为三阶方阵A 的特征值，且对应的特征向量分别为以下三个向量，求
A.
【答案】因为A 是三阶方阵且三个特征值互异，故其所对应的 三个特征向量线性无关. 现以其作列得可逆方阵
并且A 可对角化，即有
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从而
3． 设二次型
试将其化为标准形，并写出所用的正交变换. 【答案】设此二次型矩阵为A ，则
计算可得当当
所以A 的特征值为
时，得线性无关的特征向量
将它们单位化，得
时，得线性无关的特征向量
令则T 为正交阵，于是作正交变换
则所求标准形为
4． 设二次型
（1）求二次型的矩阵的所有特征值； （2）若二次型的规范形为【答案】（1）二次型
的矩阵
求α的值.
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由于
所以A 的特征值为
（2）解法1由于
的规范形为故有当兰. 当
时，时
.-时，
所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又
于是
所以A 合同于
此时的规范形为
此时的规范形为
此时的规范形为
不合题意.
不合题意.
其秩为2，
综上可知，
解法2由于的规范形为所以
5． 设
数. 作线性方程组对任何
有解.
为数域P 上的n 阶方阵，满足条件
试证明方程组（I ）对任何有解的充要条件是A 可逆
.
分别有解
其中b 为一个非零常有解当且仅当（II ）
【答案】首先证明，（I ）对任何
设对n 阶单位矩阵E 的第i
列，则有
令
所以A 可逆
.
. 一
同理可证:（II ）对任何
事实上，由
知
因此问题归结为证明
故有
问题得证.
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