2017年广西师范大学数学综合(高等代数与数学分析各占50%)之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设有齐次线性方程组
试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【答案】解法1:方程组系数行列式
当
即a=0或
时方程组有非零解.
当a=0时，
故方程组与如下方程同解:
由此得基础解系为：
故方程组通解为当
其中
为任意常数.
时，对系数阵作初等行变换有
故方程同解方程组为
由此得基础解系为：
于是方程组通解为：
解法2:对方程组的系数阵A 作初等变换，有
当
解得基础解系：
故方程组有非零解，其同解方程组为：
于是方程组通解为当
时，对B 作初等行变换，有
其中为任意常数.
可知时，故方程组也有非零解，其同解方程组为
解得基础解系碍；
于是得通解
（k 为任意常数）.
线性无关，而可由
2． 设T 是线性空间V 上的线性变换，Z 是V 的非零向量. 若向量组与它们线性相关. 证明：子空间
【答案】线性表出，
即
则
故
即证W 是T 的不变子空间.
是T 的不变子空间，并求在该组基下的矩阵.
线性相关，所以
线性无关，而
设T 在基下的矩阵为A , 则
3． 讨论取什么值时，方程组
有解，并求解. 【答案】系数行列式（1）当（2）
所以
时，原方程组变为
（3）当
时，原方程组为
4． 设A 为n 阶实对称阵，且
称方阵？如是，说明理由；如不是，举出反例.
【答案】A 是正定的. 下证A 的任一特征值
从而
因为
所以
即
即A 的特征值全为1，所以A 为正定阵. 的根，令
【答案】在W 中存在多项式
在数域F 上不可约. 答:显然
即可.
时，方程组有惟一解，且其惟一解为
（1为n 阶单位阵）. 问：A 是否一定为正定实对
设是A 属于特征值的特征向量. 则
由于实对称阵的特征值均为实数，因而知
5． 设a 为一复数，且是数域F 上非零多项式
使得对任一
都有且
如g （x ）不可约，取
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