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一、计算题

1． 对敌人的防御阵地进行100次轰炸, 每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量, 其数学期望是2, 方差是1.69, 求100次轰炸中有180颗炸弹命中目标的概率.

【答案】设第k 次炸中目标的炸弹数为

,

由独立同分布中心极限定理知, 当n 充分大时,

故

I

2． 在一批灯泡中抽取300只作寿命试验，其结果如下:

表

在显著性水平为0.05下能否认为灯泡寿命服从指数分布【答案】这是一个检验总体是否服从指数分布

本题中总体分成4类，在原假设成立下，每类出现的概率及

?

的假设检验问题.

分别为

因而，检验的统计量为

这里k=4, 检验拒绝域为由于服从指数分布

，若取

，则

.

未落入拒绝域，故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为灯泡寿命

此处检验的p 值为

近似服从正态分布, 又由题意知,

,

命中目标的炸弹总数为

3． 若随机变量

【答案】方程

. ，而方程无实根等价于

无实根的概率为0.5, 试求. ，所以由题意知

由此得知.

4． 为了寻找飞机控制板上仪器表的最佳布置, 试验了三个方案, 观察领航员在紧急情况的反应时间（以

秒计）, 随机地选择28名领航员, 得到他们对于不同的布置方案的反应时间如下:

表

1

试在显著性水平试求

【答案】提出假设

不全相等

已知得

又

的自由度分别为

表

2

从而得方差分析表如下:

下检验各个方案的反应时间有无显著差异, 若有差异,

的置信水平为

的置信区间.

因

以下来求置信水平为

故在显著性水平的置信区间, 令

下拒绝, 认为差异是显著的.

则

从而分别得

的一个置信水平为

的置信区间为

.

由此可见, 若仅从得到的样本作出决策, 则以方案Ⅲ为佳. 5． 若

试证

为从分布族

为充分统计量.

中抽取的简单样本，

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知，

为充分统计量.

6． 将3个乒乓球放入4个杯子中, 求杯子中球的最大个数为1, 2, 3的概率.

【答案】设事件

表示“杯中球的最多个数为”, 3个球放入4个杯子中共有

种,

即

中不同方法,

表示“4个杯子中有3个杯子各有一球”, 则不同放法共有

表示“4个杯子中有一个杯子有2个球, 有个杯子有1个球”, 则共有

种不同放法, 即

中放法,

；

表示“3个球都放入了一个杯子中”, 则共有即

7． 在（0, 1）上任取一点记为X ，试求

【答案】

由

解得

是开口向上的，故有

. .

因为

，

又因为二次函数

所以

8． 设随机变量X 仅在区间

上取值，试证:

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为