2017年大连理工大学概率与统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 己知
【答案】由条件概率的定义知
其中
再由
可得
2． 设回归模型为
试求
的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？
代回原式，可得
【答案】似然函数为
其对数似然函数为
导并令导函数为0，得到如下似然方程组
经过整理可以解出
可以看到
的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.
（忽略常数项），将其分别对
求
3． 设随机变量X 与Y 相互独立, 试在以下情况下求Z=X/Y的密度函数:
（1）（2）
【答案】（1）因为当函数为
时, 且当y>0时, . 所以Z=X/Y的密度
使上式中的被积函数大于0的区域是
与
的交集, 所以当z>0时, 有
（2）因为当x>0时, 为
使上式中的被积函数大于0的区域是
与
的交集, 所以当z>0时, 有
4． 设二维随机变量u , n 的联合密度函数为
求【答案】
的非零区域与
的交集为图阴影部分, 所以
且当y>0时,
所以Z=X/Y的密度函数
图
5． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位：m/s）如下：
据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（
）？
（单位：m/s）. 经过较长时间储存，取9发进
【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体分别为假设分别为
待检验的原假设矾和备择假设
在显著性水平为下，
检验的拒绝域为
著降低.
关于本题说明一点：本题中的一对假
设
若取
查表知
经计算得
此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判断这批枪弹的初速有显
的检验与另一对
假设
的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，
都形如由于使用该拒绝域的检验的势函数为
是的减函数，因而要求
与要求
等价，从而两个检验问题的拒绝域完全一
致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.
6． 设随机变量X 和Y 独立同分布, 且
试求
7． 掷一颗骰子两次, 求其点数之和与点数之差的协方差.
【答案】记X 为第一次掷出的点数, Y 为第二次掷出的点数, 则X 与Y 独立同分布,
即有
由此得
8． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.
【答案】能. 令
则变换后的函数形式为v=lna+bu.
问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给
【答案】利用独立性可得
二、证明题
9． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
利用此结果计