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一、证明题

1． 证明下列结论：

⑴当(2) 若

时

，

在点a 的邻域

内连续，

有

且

【答案】(1)

令

使得

令

则

于是有

从这个式子中可解得

由亍

>

所以

且易知

(2) 由泰勒定理知

其中

比较

的两个展式有

于是

令

1取极限，利用

在区域

成立

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使得

其中并求和

，则

在

上

对

利用拉格朗日定理，

当

时

，

阶导数的定义及在

上可微，且对

内连续有

有

2． 设二元函数

证明：对任意

【答案】应用微分中值定理，有

其中介于

3． 设函数列

函数(不要求一致有界) . 证明

：

【答案】

首先证明f (x ) ，g (x ) 在I 上有界. 而

所以

同理可证g (x ) 在I 上也有界. 设其次证明数

当因此

时有

当

时有

令，

最后证明n>N时

，

有

于是当n>N时，

有

故

4． 设a ，b ，

【答案】由于当

时，原不等式化为

上式等价于

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与之间，介于

与之间.

都是I 上的有界

存在正整数

使得

在区间I 上一致收敛，且对每个n ，

在I 上必一致收敛.

故存在正整

在I 上一致有界. 由

，则

取正整数N ，使得当

有

在I 上一致收敛于f (x ) g (x ) . (

表示全体正实数的集合) . 证明

故只需对

的情形进行证明.

你能说明此不

等式的几何意义吗？

两边平方，得

即

由于即

当

所以上式等价于

时，这个不等式是成立的. 所以原命题成立.

的两边之

题中不等式的几何意义如图所示，其中AB=a, BD=b, BC=c.其几何意义表示差小于第三边

.

图

5． 设函数f 只有可去间断点，定义

【答案】设g

的定义域为

当

. 和

由

时，得

的任意性知，g (X ) 在D 上连续.

即

,

的值决定，而在

即当

上

时

g (x ) 的值由f (y ) 在邻域

则

证明为连续函数.

对于任给的

设

存在由，

使得知

由保不等式性

故g (x ) 在连续.

二、解答题

6． 求椭圆

的内接矩形中面积最大的矩形.

则矩形面积为

求又

即点

是函数

在

内的最大值点，从而也是函数

在

内的最大值点，

的最大值点等价于求.

的最大值点. 从

【答案】设内接矩形的第一象限内的顶点为

故最大内接矩形的面积为

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