2017年中南大学数学与统计学院712数学分析之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:【答案】因为连续，从而
故本题等价于证明
D.
因为
在[0, 1]上一致收敛于f (x ) , 所以对任意的
有
即
从而结论得证.
2． 利用柯西收敛准则证明下列数列收敛：
(1
) (2
) 【答案】
由于(不妨设
其中
)
而
即数列
(2)
对
所以存在正整
数
收敛.
)
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是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于
>是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于所以f (x ) 在[0, 1]上
存在
使得
从而对任意的
且
当时
有于是
当时
有
由于(不妨设
取
则当
时有
所以数列
收敛.
二、解答题
3． 求
其中
为连续函数. 使得
其中
4． 若
【答案】
的任何有界闭子区间上一致收敛.
的有界闭子区间
分两种情况讨论：
收敛，所以广义积分
在[a，b]上一致
，所以问对于
之差分别是多少？
【答案】由中值定理知，存在
5． 求证含参量广义积分
【答案】任取(1) 当a>0时，因为收敛.
(2) 当a=0时，
且充分小，使得
当时，有
若若
当
时，即
综合①，②讨论，当
则
因为广义积分
时，时，
关于
收敛，所以存
当
时
所以广义积分
在
故
上一致收敛. 由(1) (2) 可知，广义积的任何有界闭区间上一致收敛.
6． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：
（1）（2）【答案】（1）法线方程为
即
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故切线方程为
即
法线斜率为-1,
（2）
故切线方程为法线方程为
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