2017年中国人民大学信息学院828高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
都是4维列向量，且4阶行列式
则分块矩
且
所以
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
，
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果B. 如果秩 则则 . 有非零解 有非零解 有惟一解 只有零解 有零解. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 （否则与 是非齐次线性方程 组，所以有解矛盾） 的三个线性无关的解，所 以从而 是 的一个 是对应齐次线性方程组 的两个线性无关的解. C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 6． 证明： 【答案】证法I 因为 秩 未知量个数， 二、分析计算题 故代入后整理可得 因此，证法II 因为 故 的 个根 是互异的n 次单位根，故 7． 某试验生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支持其他生产部门，其缺 额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟 记成向量 练工，设第n 年一朋份统计 的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和 （1 ）求（2）验证（3）当 时，求 的关系式并写成矩阵形式： 是A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； 【答案】（1）由题意知 化简得 故所求矩阵形式为 其中（2） 为所求关系矩阵. 对应的特征值为 线性无关. :对应的特征值为 不同特征值的特征向量一定线性无关（3）由①式知 若令 则