2017年沈阳师范大学软件学院602数学基础之高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 级数
【答案】
收敛的充要条件是a 应满足_____。
【解析】由题意得
当a>0时收敛，当a<0时发散，当a=0时，原级数为
发散，则原级数收
则原级数
敛的充要条件a>0。
2． 设常数k>0, 函数
【答案】当当又
故曲线
时, 时,
与x 轴有两个交点, 因此函数
在
内的零点
, 令, 故函数
在
内零点的个数为_____。 , 得驻点x=e 在（0, e]上单调增加;
上单调减少。
,
, 故函数f （x ）在
从而x=e为函数f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值也是最大值且最大值
的个数为2。
3． 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有
其中f （x ）在【答案】1
【解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式得
内具有连续的一阶导数，则
=_____。
其中
为S 所围成的空间区域，当s 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S 取内侧
为连续函数，且对任意的
。因此，当x>0
面时，上述三重积分前取“-”号。
由于曲面S 任意，因此空间区域也为任意，根据“若空间区域都有时，有
4． 对级数
【答案】必要；充分 5． 积分
【答案】
的值等于_____。
。
是它收敛的_____条件，不是它收敛的_____条件。
，则
。可知
【解析】交换积分次序，得
6．
若函数
_____。
【答案】【解析】令
。故
7． 若级数
【答案】发散 【解析】如果
收敛，
收敛，
发散，则级数
=_____。
，得
，且代入
方程中，
得
，其中Z
是由方程
确定的x ，y 的函数，
则
与题设矛盾。
8． 过x 轴和点（1, -1, 2）的平面方程为_____。
【答案】
。又所求平面经过点
【解析】由题意知，所求平面经过x 轴，故可设其方程为
，故其满足平面方程，
得
（1, -1, 2）
。
9． 设
是由曲面
在
面上的投影区域表示为
是由
即
故所求平面方程为，
即
围成，则的体积V=_____。
【答案】【解析】
成，见图。于是
平面上的曲线围
的体积
在第一象限部分记为
，由对称性得
其中
。于是
10．
【答案】-2 【解析】令
，则
，则_____。
，故