当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设V 是数域P 上n 维线性空间，明：

【答案】

由已知

于是

因而

式（7-17）右边的n 阶矩阵A 的行列式为范德蒙行列式，由由

设

的

线性无关，故是

的特征向量

，

设

特征向量. 注意到（7 —17）成立，

线性无关

.

记

这里

是V 的基，由特征值

互不相同，

故

只要证明

贝U

则是

互不相同，则A 可逆，

线性无关的充要条件是

且在P 中有II 个不同特征值

其中是r 的特征值的特征向量

，

证

也是V 的基，故

2． 证明：奇数维欧氏空间的第一类正交变换有特征值1.

【答案】设T 是n （n 为奇数）维欧氏空间V 的第一类正交变换，即T 在某一标准正交基下的矩阵A 是正交矩阵且

另一方面，因为A 是正交矩阵且于是由（1），（2）得证法设

的n 个根为但于是由上题知

故

则且其余

个实根为

从而由（3）得

但n 为奇数，从而

是奇数，故

第 2 页，共 24 页

证法因为n 为奇数，故

故又有

故1是A 即T 的特征值.

为实系数多项式，虚根成对出现，不妨设前2k 个是虚根，它们是与

中至少有一个1，即A 或T 有特征

值1.

3． 设A ，B 为n 阶矩阵，

（2）设

证明：

则B 的特征值都是1次单位根.

且

所以A 相似于对角

即A 的特征值均为1次单位根. 此即

（1）A 相似于对角阵，且对角线元素皆为1次单位根； 【答案】（1）由假设知A 有零化多项式阵. 进而设是A 的特征值，则

且（2）已知

在①式两边左乘A ，右乘B , 并注意

得

所以

则由上面（1）知，B 的特征值都是1次单位根.

4． 设

是实数，证明：实二次型

正定的充要条件是【答案】因为

注意到

5． 设V 为欧氏空间，

若

则

于是

证明：

第 3 页，共 24 页

是V 的一个线性函数；

若V 是n 维，则对其任一线性函数都存在唯一的向量使

【答案】是V 到实数域R 的映射显然. 又设

则由内积性质知：

故②S 若从而

③任取V 的_标准正交基则对V 中任意向量故

即

6． 设

（1）（2）当【答案】⑴

（2）用反证法. 若A 可逆，

当矛盾，所以A 是不可逆矩阵.

7． 举例说明断语“如果a 是

则

因此a 是

8． 问：3是否为

的优重根，但是a 不是f （x ）的根.

的根？是几重根？再在有理数域上分解f （x ）, 时，由上面（1）有

即

但

又的唯一性显然.

其中I 是”阶单位矩阵

，是n 维非零列向量

，的充要条件是

时，A 是不可逆矩阵.

是的转置，证明：

是V 的一个线性函数. 即

. 或

故得证.

令

由于f （x ）是线性函数而

是标准正交基，

的m 重根，那么a 是的

重根”是不对的.

【答案】可以用反例来说明这一结论. 设

【答案】解法I 对f （x ）及其商用综合除法.

第 4 页，共 24 页