2017年中山大学数据科学与计算机学院868高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设
是非齐次线性方程组
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
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的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
由于因此线性无关，且都是的解.
的特解，因此选B.
分别为A ，B 的伴随矩阵，
故是的基础解系. 又由知是
3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E
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C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 在
中，求
之间的夹角
（内积按通常定义）. 设
（1）（2）（3）【答案】⑴（2）（3）
7． 设
（1）求A 的特征值与特征向量； （2）求
，所以A 的特征值为
，得特征向量
故A 属于特征值-2的全部特征向量为
当
时，由
其中为数域P 为不为零的任意常数.
为数域P 中不全为零的任意常数.
得线性无关的特征向量
其中令
【答案】（1）计算可得当
时，由
故A 属于特征值1的全部特征向量为（2）
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