2017年中山大学数据科学与计算机学院868高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时， 2． 设
是非齐次线性方程组
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
【答案】B 【解析】
的基础解系. 又由
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
4． 设向量组
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 5． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D.
=（ ）.
所以向量组
线性无关.
线性无关.
【答案】C 【解析】因为
二、分析计算题
6． 设m ，n 为自然数，证明：
【答案】（I ）记所以
即
同理有
（II ）设由于所以
而
结合式（1）、式（2）可得由（I ）、（II ）可知.
7． 设A ，B , C，D 均为n 阶方阵且A , B可逆. 证明：存在可逆方阵P , Q使PAQ=B且PCQ=D的充要条件是
与
等价.
则
反之，设
则因为A ，B 可逆且
故由此得
再根据矩阵多项式相等可得
8． 问：方阵
【答案】易知
可否对角化？若可对角化，求可逆方阵C 使
为对角矩阵.
因此，
从而
与
相似. 于是存在可逆方阵Q 使
【答案】设有可逆方阵P ，Q 使
使
则存在
使
的一个公因式，即
故A 的特征根（即特征多项式在复数域内的根）为：
在有理数域或实数域上A 不能对角化，但在复数域上A 可对角化.