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一、计算题

1． 某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1美元股息，该股票目前市价为40美元，设所有期限的无风险连续复利年利率都为6%, 某投资者刚刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：

（1）远期价格和远期合约的初始值等于多少？

（2）3个月后，该股票价格涨到46美元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约的空头价值等于多少？

【答案】根据固定股息股票远期价格计算公式：

（1）

（2）

2． 请举例说明动态随机规划方法在求解最优消费投资组合决策问题过程中的向后递归的特征。

【答案】（1）动态规划方法的思路核心在于向后递归的求解过程，也就是说多期最优决策等价于由一系列从后一期结果推导前一期最优决策的单期最优化规划，当前做出的最优决策应该与未来所有最优行为相一致。换言之，如果你已知t+1期初最优交易策略，那么t 期初的最优交易策略问题就可以简化为一个或者多个单期决策问题。

（2）假定:①典型个人生存两个时期，他可以在两个时点上

死亡了）， 他被赋予一定量的初始资源②理想化的资本市场上存在两种资产，一种是无风险的现金或者债券，它的价格在任何时刻都没有变化，始终为1, 另一种是有风险的股票，它的价格过程假定由图所示的二项树描绘；③投资者的非资本收入Y 为0,

效用函数具有以下特定形式

；④为了简化分析，假定投资者从不进行任何消费，这样最优决策的唯一目标就是最

大化来自最终财富的期望效用，最优化问题式就可以简化为

上做决策（t=2时，他就

图股票价格运动的二项数模型

（3）要使以上最优化问题得以解决，需要找到最优的投资决策变量（最优控制）

具体

过程如下:

假定此时的财富W （1）为任一正数（它是由上一期t=0时的最优决策所产生的）。投资到股票上的财富比例为W （1），则投向无风险资产上的就是（1）。计算最后的t=2时最终财富的期望效用，先考虑当股票价格P=200时的情形，根据二项树模型:

对求导，并令一阶条件等于0, 得:

考察股票价格P=50时的情形，仍旧可使用上式，

示股票价格

上涨一倍的情况下，投资存两种资产上给投资者带来的期末财富的期望效用:而

则是投资机会相对较差时期末财富的效用水平，所以

最优解还是W （1）因此这个最优投资比例决策独立于1时刻股票价格和财富的绝对水平。

，就可以知道最终财富的期望效用水平是多少，而1时期只要知道1时刻的财富水平

的财富水平W （1）, 也是由同第一步类似的决策过程所决定的，即:

对求导数，并令一阶条件等于0, 得到最优化条件

和依然表因此最优投资决策

方案就是:

尽管实际的问题要比这个简单的例子复杂得多，但从上述求解过程中，仍然可以归纳出最优个人消费/投资决策的动态规划解法的最显著特征，即它是向后递归的。而这正是最优化原理的体现。

3． 假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%, 恒生指数股息收益率为每年5%, 求该指数3个月期的期货价格。

【答案】根据连续收益率指数期货价格计算公式：

该指数3

个月期的期货价格

二、简答题

4． 晨星基金评级是如何进行的？

【答案】（1）评级指标首先分别根据3年、5年和10年的绩效数据来计算，然后根据一定的权重（如表所示）进行加权计算得到总的评价指标。基金的评级最终取决于基金的收益系数与风险系数这两个指标的差值。

表 历史绩效数据的计算权重

（2）主要步骤:

①计算基金在考察期间的平均损失率（AMU ）（投资基准为90天期的国债收益率）；

将基金每月净值增长率减去90天期国库券收益率，得到基金每月相对于国库券的超额收益率，然后对考察期间数值为负的超额收益率求取平均值，即R1。该指标称为基金的下行风险指标或称平均亏损指标。

②计算基金的风险系数（比较基准为同类型基金的平均损失率）计算公式为:

对所有同类基金进行同样的处理，求取所有同类基金的下行风险指标的平均值，即R2。将单个基金的下行风险指标除以同类基金下行风险指标的平均值，即得到单个基金的相对风险指标，即R3。风险系数为1表示目标基金在考察期的平均损失率等于同类型基金的平均水平。

Ｍ计算基金的（超额）收益系数（比较基准为同类型基金的平均超额收益率）