2017年河北师范大学数学与信息科学学院818高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
存在，求下列函数的二阶导数
。
【答案】
2． 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少?
【答案】设矩形另一边的长度为l 并建立如图所示的坐标系，则质心的纵标
由题设
即可算得
图
3． 求函数
【答案】
在点
的泰勒公式。
函数为2次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数均为零。又
将以上各项代入泰勒公式，便得
4． 在R 、L 、C 含源串联电路中，电动势为E 的电源对电容器C 充电，已知
，L=0.1H（亨），R=1000Ω，试求合上开关K 后的电流i （t ）及电压u c （t ）（微法）。
【答案】由回路定律知件，
故微分方程
为
解得
因
可令
是原方程的特解，代入方程，得
代入初始条件，
有
即
又
代入初始条件故
有
5． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.
（1） （2）
; ;
即
已知
且依题意，有初始条
其对应的齐次方程的特征方程
为
即
故方程的通解为
即
（3） （4）
;
.
，边界为
.
. ，
边界为
，边界为
.
【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为（3）集合是开集，区域，无界集；导集为
（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为
6． 设在xOy 面上有一质量为M 的质量均匀的半圆形薄片，占有平面闭区域
，过圆心。垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P ，OP=a。
求半圆形薄 片对质点P 的引力。
【答案】 积分区域
，于是
由于D 关于y 轴对称，且质量均匀分布，故F x =0。又薄片的面密度
所求引力为
7． 求下列极限: